Định lý cosin

Định lí: Trong một tam giác bất kì, bình phương một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh còn lại trừ đi hai lần tích của hai cạnh đó nhân với \(cosin\) của góc xen giữa chúng.

Ta có các hệ thức sau:

$$\eqalign{
& {a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.{\mathop{\rm cosA}\nolimits} (1) \cr
& {b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac{\mathop{\rm cosB}\nolimits} (1) \cr
& {c^2} = {a^2} + {b^2} - 2bc\cos C(3) \cr} $$

\(\cos A = \frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}\) \(\cos B = \frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}\)

\(\cos C = \frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}\)

Áp dụng: Tính độ dài đường trung tuyến của tam giác:

Cho tam giác \(ABC\) có các cạnh \(BC = a, CA = b\) và \(AB = c\). Gọi \(m_a,m_b\) và \(m_c\) là độ dài các đường trung tuyến lần lượt vẽ từ các đỉnh \(A, B, C\) của tam giác. Ta có

\({m_{a}}^{2}\) = \(\frac{2.(b^{2}+c^{2})-a^{2}}{4}\)

\({m_{b}}^{2}\) = \(\frac{2.(a^{2}+c^{2})-b^{2}}{4}\)

\({m_{c}}^{2}\) = \(\frac{2.(a^{2}+b^{2})-c^{2}}{4}\)

Xem thêm: định lý cosinđịnh lí sinđịnh lý vi-étđịnh lý lagrangehàm số sin