Đạo hàm của hàm số luỹ thừa

a) Định lý 

• Hàm số luỹ thừa \(y = {x^\alpha }(\alpha \in \mathbb{R})\) có đạo hàm tại mọi điểm \(x>0\) và \(\left( {{x^\alpha }} \right)' = \alpha {x^{\alpha - 1}}\).

• Nếu hàm số \(u=u(x)\) nhận giá trị dương và có đạo hàm trên \(J\) thì hàm số \(y = {u^\alpha }(x).\) cũng có đạo hàm trên \(J\) và \(\left( {{u^\alpha }\left( x \right)} \right)' = \alpha .{u^{\alpha - 1}}(x).u'(x)\).

b) Chú ý: 

• Áp dụng định lí trên, ta dễ dàng chứng minh công thức đạo hàm của hàm số căn bậc n sau đây: \(\left( {\sqrt[n]{x}} \right)' = \frac{1}{{n\sqrt[n]{{{x^{n - 1}}}}}}\) (với mọi \(x>0\) nếu n chẵn, với mọi \(x\ne0\) nếu n lẻ).

• Nếu \(u=u(x)\) là hàm số có đạo hàm trên \(J\) và thoả mãn điều kiện \(u(x)>0\) với mọi \(x \in J\) khi n chẵn, \(u(x)\ne0\) với mọi \(x \in J\) khi n lẻ thì:

\(\left( {\sqrt[n]{{u(x)}}} \right)' = \frac{{u'(x)}}{{n\sqrt[n]{{{u^{n - 1}}(x)}}}}\,\left( {\forall x \in J} \right)\)
♦ Nhận xét: Do \(1^\alpha =1\) với mọi \(\alpha\) nên đồ thị của mọi hàm số lũy thừa đều đi qua điểm (1;1).

Xem thêm: đạo hàm của hàm số luỹ thừabảng đạo hàm của các hàm số lũy thừa, mũ, logaritđạo hàm của hàm số lượng giáckhái niệm hàm số luỹ thừađồ thị của hàm số bậc hai