Giá trị lượng giác của cung alpha

Định nghĩa

Trên đường tròn lượng giác, cho điểm \(M\left( {{x_o},{y_o}} \right)\) sao cho cung lượng giác AM có sđ\(AM = \alpha \). Khi đó:

\(\begin{array}{l}
\sin \alpha  = \overline {OK}  = {y_0}\\
\cos \alpha  = \overline {OH}  = {x_0}\\
\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}{\rm{ }}\left( {\cos \alpha  \ne 0} \right)\\
\cot \alpha  = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}{\rm{ }}\left( {\sin \alpha  \ne 0} \right)
\end{array}\)

Định nghĩa: Các giá trị \(\sin \alpha ,\cos \alpha {\rm{, tan}}\alpha {\rm{, cot}}\alpha \) được gọi là các giá trị lượng giác của cung . Ta cũng gọi trục tung là trục sin, còn trục hoành là trục côsin.

Chú ý:

1. Các định nghĩa trên cũng áp dụng cho các góc lượng giác.

2. Nếu \({0^ \circ } \le \alpha  \le {180^ \circ }\) thì các giá trị lượng giác của góc \[\alpha \] chính là các giá trị lượng giác của góc đó.

Ví dụ 1: Tính \(\sin \frac{{25\pi }}{4}\), \(cos\left( { - {{240}^o}} \right)\)

 Hướng dẫn:

Để tính giá trị lượng giác của cung lượng giác AM có số đo \(\alpha \) bất kì, ta thực hiện theo các bước:

+ Biểu diễn cung lượng giác AM trên đường tròn lượng giác.

+ Tìm tọa độ điểm M, từ đó áp dụng định nghĩa suy ra các giá trị lượng giác cần tìm.

Ta có \(\frac{{25\pi }}{4} = \frac{\pi }{4} + 3.2\pi \)

Suy ra \(\sin \frac{{25\pi }}{4} = \sin \frac{\pi }{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

Tương tự \( - {240^0} = {120^0} - {360^0}\)

Suy ra \(cos\left( { - {{240}^o}} \right) = cos{120^ \circ } =  - \frac{1}{2}\)

Hệ quả

1) \(\sin \alpha \) và \(\cos \alpha \) xác định với mọi \(\alpha  \in R\).

\(\begin{array}{l}
\sin \left( {\alpha  + k2\pi } \right) = \sin \alpha ,\forall k \in Z\\
\cos \left( {\alpha  + k2\pi } \right) = \cos \alpha ,\forall k \in Z
\end{array}\)

2) \( - 1 \le \sin \alpha  \le 1, - 1 \le \cos \alpha  \le 1\)

3) Với mọi \(m \in R\) mà \( - 1 \le m \le 1\) đều tồn tại \(\alpha \) và \(\beta \) sao cho \(\sin \alpha  = m\) và \(\cos \alpha  = m\).

4) \(\tan \alpha \) xác định với mọi \(\alpha  \ne \frac{\pi }{2} + k\pi {\rm{  }}\left( {k \in Z} \right)\)

5) \(\cot \alpha \) xác định với mọi \(\alpha  \ne k\pi {\rm{  }}\left( {k \in Z} \right)\)

6) Bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác 

Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt

Xem thêm: hàm số sinhàm số liên tụchàm số y = |x|sự rơi tự dophương trình sinx = a