Phép vị tự

1. Định nghĩa

Cho điểm O cố định và một số thực k không đổi, \(k \ne 0\).           

Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho cho \(\overrightarrow {OM'}  = k\overrightarrow {OM} \), được gọi là phép vị tự tâm O với tỉ số k.

Kí hiệu: V_(O,k) (O được gọi là tâm vị tự).

\({V_{\left( {O,k} \right)}}\left( M \right) = M' \Leftrightarrow \overrightarrow {OM'}  = k\overrightarrow {OM} \)

\(\left| k \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {OA'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {OA} } \right|}} = \frac{6}{3} = 2 \Rightarrow k =  - 2\)

(do \(\overrightarrow {OA} \) và \(\overrightarrow {OA'} \) ngược hướng)

Một số nhận xét quan trọng:

Trong phép vị tự có một điểm bất động là tâm vị tự.

Khi k = 1 thì phép vị tự \({V_{\left( {O,k} \right)}}\) là phép đồng nhất.

Khi k = -1 thì phép vị tự \({V_{\left( {O,k} \right)}}\)  chính là phép đối xứng tâm O (Khi đó tâm vị tự trở thành tâm đối xứng).

Qua phép vị tự tâm O với tỉ số k biến M thành M’ thì phép vị tự tâm O tỉ số \(\frac{1}{k}\)sẽ biến M’ thành M: \({V_{\left( {O,k} \right)}}\left( M \right) = M' \Leftrightarrow {V_{\left( {O,\frac{1}{k}} \right)}}\left( {M'} \right) = M.\)

1.2. Các tính chất

• Tính chất 1:

Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M và N lần lượt thành M’ và N’ thì \(\overrightarrow {M'N'}  = k\overrightarrow {MN} \) và M’N’ = MN.

\(\left\{ \begin{array}{l}{V_{\left( {O,k} \right)}}\left( M \right) = M'\\{V_{\left( {O,k} \right)}}\left( N \right) = N'\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {M'N'}  = k\overrightarrow {MN}  \Rightarrow M'N' = \left| k \right|MN\)

• Tính chất 2:

Phép vị tự biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự của ba điểm đó.

Từ các định lý trên ta có các hệ quả sau:

• Hệ quả: Phép vị tự tỉ số k:
  • Biến đường thẳng không đi qua tâm vị tự thành đường thẳng song song với nó.
  • Biến đường thẳng qua tâm vị tự thành chính nó.
  • Biến tia thành tia.
  • Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng mà độ dài được nhân lên với \(\left| k \right|\).
  • Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tỉ số số đồng dạng là \(\left| k \right|\).
  • Biến góc thành góc bằng nó.

3. Ảnh của đường tròn qua phép vị tự

Tính chất 3:

Phép vị tự tỉ số k biến đường tròn có bán kính R thành đường tròn có bán kính \(\left| k \right|\)R.

Chú ý: Nếu phép vị tự tâm O tỉ số k biến đường tròn (I;R) thành đường tròn (I’;R’) thì: \(\left| k \right| = \frac{{R'}}{R}\) và \(\overrightarrow {OI'}  = k\overrightarrow {OI} \).

Xem thêm: phép vị tựphép tịnh tiếnphép hiệu tập hợpphép đối xứng trụchoán vị lặp