Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian

a) Định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ

Tích vô hướng của hai vectơ \(\vec u\) và \(\vec v\) đều khác vectơ-không là một số được kí hiệu là \(\vec u .\vec v\) xác dịnh bởi:

\(\overrightarrow u .\overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|.c{\rm{os(}}\overrightarrow {\rm{u}} .\overrightarrow v )\)

Nếu \(\vec u= \vec0\) hoặc \(\vec v= \vec0\) thì ta quy ước \(\vec u.\vec v=0.\)

b) Tính chất tích vô hướng của hai vectơ

Với ba vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c\) trong không gian và với mọi số k ta có:

• \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \overrightarrow b .\overrightarrow a\) (tính chất giao hoán).
• \(\overrightarrow a (\overrightarrow b + \overrightarrow c ) = \overrightarrow a .\overrightarrow b + \overrightarrow a .\overrightarrow c\) (tính chất phân phối).
• \((k.\overrightarrow a ).\overrightarrow b = k.(\overrightarrow a .\overrightarrow b ) = \overrightarrow a .k\overrightarrow b .\)
• \({\overrightarrow a ^2} \ge 0,{\overrightarrow a ^2} = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow a = \overrightarrow 0.\)

c) Ứng dụng của tích vô hướng

Xác định góc giữa hai vectơ \(\vec u\) và \(\vec v\) bằng \(c{\rm{os(}}\overrightarrow {\rm{u}} .\overrightarrow v )\) theo công thức: \(c{\rm{os(}}\overrightarrow {\rm{u}} .\overrightarrow v ) = \frac{{\overrightarrow u .\overrightarrow v }}{{\left| {\overrightarrow u } \right|\left| {\overrightarrow v } \right|}}\).      

Xem thêm: tích vô hướng của hai vectơ trong không giangóc giữa hai vectơ trong không gianđịnh nghĩa vectơ trong không giancác phép toán về vectơ trong không giangóc giữa hai đường thẳng trong không gian